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我校举行第二期教师发展论坛专题报告

2019年8月31日 - 科技中心

本文经授权转载自《老顾谈几何》微信公众号

402.com,7月10日下午,我校特邀美国纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授顾险峰走进第二期教师发展论坛,为我校师生做了题为“Modern
Geometry Applied for Engineering and Medical
Fields”的专题报告,报告由理学院院长薛红教授主持,青年教师及学生到场参加。

【2019年3月22-24日,清华三亚人工智能高端论坛将在三亚市召开。23日下午,5:40-6:10pm,老顾将介绍和丘成桐先生的近期工作“最优传输观点下的对抗生成模型”,包括用蒙日-安培方程正则性理论来解释模式崩溃问题。敬请光临指导。

本期论坛顾险峰教授着重介绍了如何将微分几何、代数拓扑、黎曼面理论及偏微分方程与计算机科学相结合,创立跨领域学科计算共形几何。并围绕曲面映射算法,对于曲面曲率流,最优传输理论和凸几何的内在联系,蒙日-安培方程理论等做了高屋建瓴而又深入浅出的讲解,同时结合3D动画、几何建模、人脸识别、医学图像和计算机视觉等介绍了相关理论及算法的应用。报告后,顾教授与老师和同学们就相关问题进行了亲切的交流。

老顾的童年生长在经济文化相对落后的东北,母亲家族世代生活在医巫闾山脚之下。医巫闾山上碑刻摩崖星罗棋布,古刹殿堂云雾缭绕。每年梨花绽放时节,遍山浸透“香雪海”。医巫闾山的望海峰顶,坐落着契丹辽国太子耶律倍的读书堂,这里一度是契丹王朝的文化中心。千年之后,医巫闾山脉草莽出没,迷信横行。童年时,父母经常哀叹辽地科学落后,文化不兴。那时冬日晚上,寒风呼啸,滴水成冰,电视尚未普及,族人亲戚经常聚在一起,谈古论今,讲述充满萨满风情的民间传说。父辈们都认为世间存在着一些世外高人,他们开了天眼,通晓天地玄机,洞悉历史未来,领悟了宇宙奥义,超越了世俗生死。那时契丹佛教文化早已烟消云散,但是女真萨满文化仍有留存。当地民间传说中依然记得这样一位世外高人,耶律楚才。耶律楚才通天文地理,律历术数,以及释老医卜,曾经辅佐成吉思汗、窝阔台,为留存推广汉家文化,做出不可磨灭的贡献。童年时,父母亲戚教导老顾少年时要壮游天下,追随世外高人,努力习得真知灼见。

顾险峰,清华大学计算机科学与技术学士,美国哈佛大学计算机科学硕士和博士。师从国际著名微分几何大师丘成桐院士,现任纽约州立大学石溪分校计算机科学系和应用数学系终身教授、清华大学丘成桐数学科学中心客座教授、大连理工大学海天学者等。目前已经发表二百篇余篇论文,学术专著包括“Computational
Conformal Geometry”, “Ricci Flow for Surface Registration and Shape
Analysis”等。顾教授2005年获美国国家自然科学基金CAREER奖,2006年获中国国家自然科学基金海外杰出青年学者奖,2013年获得世界华人数学家大会的最高奖项:晨兴应用数学金奖等。

数十年后,老顾回顾求学生涯,觉得此生的确有幸遇到世外高人:丘成桐先生。丘先生的先祖可能为躲避成吉思汗的铁蹄,南下闽粤,成为客家人。丘成桐先生童年贫寒却壮志凌云,苦学不辍,终开天眼,将微分几何和偏微分方程融为一炉,创立几何分析学派,在数学领域开天辟地,震烁古今!丘先生证明过一系列猜想,气魄恢弘,雷霆万钧!其中卡拉比-丘成桐流形揭示了宇宙间最为幽深的奥秘,解释了基本粒子的本源规律。仓颉造字而夜鬼哭,卡丘流形而上帝惊!当年小顾远渡重洋,来到哈佛大学,拜在丘先生门下,承蒙丘先生不嫌小顾学识粗浅,蒙昧愚钝,将小顾收留并悉心教导。那时小顾慧根不够,冥顽幼稚,无法领悟丘先生教授的天机。现在回想,依然懊悔不迭。但是在丘先生的指导下,在几何分析门派的熏陶下,老顾多少有一些亲身经历和人生体悟。在丘先生超越时代的目光注视下,老顾竭尽所能将几何分析的思想推向实践应用。

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目前丘成桐先生众多弟子中,只有老顾同时在数学和计算机科学领域进行研究。因此,在数十年的学术生涯中,老顾能够具有与众不同的视角,看到独特奇妙的风景,更有难以言传的洞察和一言难尽的体验。在过去的数十年中,老顾目睹了丘先生所创立的几何分析学派高歌猛进,不断揭示大自然瑰丽雄奇的秘密。特别是证明庞加莱猜想的黎奇曲率流方法更加体现了几何分析方法的博大精深、强悍有力。另一方面,计算机科学彻底革命了人类社会,接踵而至的各种技术浪潮,深刻地改变着人类的经济模式、社交方式和思维范式。丘先生认为基础科学的突破影响深远,是人类文明的真正推动力量,但是,绝大多数的芸芸众生囿于所处的社会环境和历史局限,很难充分认识并且有机会践行这一点。作为计算机科学家,老顾不懈地追逐每一个技术浪潮,力图在每一次浪潮中寻求具有根本重要性的基础问题,用丘先生教授的几何分析手法加以解决。老顾一直梦想着将几何分析的光辉思想在计算机技术中发扬光大,从而将阳春白雪介绍入寻常百姓家,从物质层面为人类文明做出力所能及的些许贡献。

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图1. 曲面参数化。

公元两千年左右,恰是计算机图形学飞速发展的时代,基于物理的渲染计算模型成熟,数字几何这一分支领域开始独立,动漫游戏工业蓬勃发展。最为显着的标志就是昂贵的专用图形工作站被廉价的图形加速卡所取代,特别是纹理贴图的技术极大地提高了渲染算法的质量、提高了计算机生成图像的逼真程度。纹理贴图依赖于曲面参数化技术,这一技术本质上等价于计算曲面到平面区域之间的微分同胚,同时尽量减小几何畸变。当时黎曼映照被用于拓扑简单曲面的参数化,但是这种方法无法处理拓扑复杂曲面。那时,丘先生教会了老顾阿提亚-辛格指标定理:黎曼流形上椭圆形偏微分方程解空间的维数由流形的拓扑所决定。具有黎曼度量的可定向曲面都是黎曼面。在黎曼面情形,指标定理就是黎曼-罗赫定理。对于曲面全局参数化,我们的算法本质上是在计算全纯一次微分(holomorphic
one
form)。当时,丘先生深入浅出地给老顾讲解了这一理论的所有细节,酣畅淋漓,深邃精妙。老顾感悟到了这一理论美轮美奂,也想像到了巨大的实用价值。深刻理解了抽象理论之后,转化成算法就自然是水到渠成。很快老顾实现了计算机算法,这或许是人类历史上首次全纯微分形式显示在计算机屏幕之上。一旦抽象的黎曼面概念变成了通用算法,其应用的范围就远非其发明者所能想象。当时数字几何领域的计算机科学家对于全纯微分的概念并不了解,无法给与这一算法恰如其分的评价,致使这一发明受到冷遇。当时老顾年轻气盛,满腔热情受到现实挫折后,变得愤世嫉俗。其实,那时也有很多学者具有远见卓识,对于这一横空出世的算法秉持支持欣赏态度。

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图2. 全纯微分形式诱导的叶状结构。

数年后,依随核磁共振和计算机断层扫描技术的成熟,医学图像浪潮兴起。CT图像用于直肠癌筛查。由于肠壁曲面具有很多皱褶,隐藏其间的息肉难以被查出。老顾和合作者们提出将直肠曲面摊开展平的想法,并用全纯微分的方法加以实现,这成为虚拟肠镜技术的一个核心。很快基于全纯微分方法的虚拟肠镜算法专利被转让给西门子和GE公司,成为他们CT扫描设备配套软件的标配。十数年后,无论老顾走到任何一个城市,如果和当地医院的放射科医生攀谈,都会谈到虚拟肠镜。前些天老顾和友谊医院的大夫讨论,他主动演示了虚拟肠镜的实例,看到平展在屏幕上的直肠曲面,老顾顿觉释然:全纯微分形式终于以丘先生和老顾意想不到的方式在全世界普及开来,借助虚拟肠镜的应用而家喻户晓。相信这一抽象的黎曼面概念和几何分析的方法已经在全世界拯救过不少的生命,而这一切都来自于丘先生办公室中的那块黑板。那天午后,凭借这块黑板,丘先生教会了老顾上同调群、调和微分形式、霍奇分解、全纯微分等玄而又玄的概念。哪里想到多年之后,天下有医院处,就有几何分析,就有全纯微分。

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图3. 虚拟肠镜。

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